引言
最近打算重新温习一下 GAMES101 现代计算机图形学入门的课程内容，做一个总结与梳理比较重要的内容以便快速复习。
Review of Linear Algebra
Vector
Normalization
Addition
Multiplication
Dot Product
通过判断点乘的正负判断两个方向向量有多么接近：
dotProduct > 0 ? forward: backward; |
Cross Product
叉乘向量的方向用右手螺旋定则判断，类似于大拇指点赞。
叉乘没有交换律，但分配律和结合律依然存在。
叉积有两个作用：
判定左右（不经过逆/顺时针旋转保持方向一致）
判定内外（叉乘符号保持一致）
Matrix
Matrix-Matrix Multiplication
矩阵间的乘法规则为”前行乘后列”，算第几行第几列就去找左矩阵第几行和右矩阵第几列。
矩阵间的乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
Transpose
矩阵转置就是把行列互换。
Identity Matrix
只有对角线上有非零元素的矩阵被称为对角阵，单位矩阵则都为 1。矩阵与矩阵的逆相乘得到单位矩阵。
Transformation
2D Transformation
Scale Matrix
Reflection Matrix
Shear Matrix
水平方向的切变。
Rotate Matrix
旋转默认原点为中心逆时针方向，推导过程如下：
Homogenous Coordinates
齐次坐标服务于平移变换，把二维的点增加一个纬度变成齐次坐标，所有变换形式上简化为一个矩阵乘以一个向量。
2D Transformation
Inverse Transformation
Composing Transforms
变换顺序从右到左非常重要，可以视作交换律的不可用。
旋转时的中心点始终为原点，所以保证旋转时物体在原点，之后再做其他的变换操作。
3D Transform
Scale & Translation
Rotation
$Z x X = Y$
推导过程如下：
Viewing Transform
View/Camera Transform
相机身处原点，法向为 Y，朝向为 -Z 的标准位置。
Model Transform
视图矩阵需要先平移至原点，然后一次旋转到标准轴。
齐次坐标先做平移后做旋转。
虽然任意轴旋转到标准轴很难推导，但是这个逆过程标准轴旋转到任意方向还算简单，又因为旋转矩阵的逆矩阵与转置矩阵相等最后可以推导出来。
Projection Transform
透视投影(P)会有近大远小的现象，而正交投影(O)没有。
Orthographic Projection
- 相机从原点看向 -Z 方向，头顶朝向 Y 方向
- 扔掉 Z 轴
- 缩放变换 X、Y 至 [-1, 1]
首先把立方体中心从负方向移到原点，然后再做一个缩放把长度变为 2。
Perspective Projection
透视投影可以拆分为两步：首先将 Frustum 挤成 Cuboid；然后直接用正交投影。
使用 (0，0，n) 和 (0，0，f) 两个特殊点代入，就可以得出最终的矩阵
Viewport Transform
- 长宽比：aspect ratio
- 垂直可视角度：fovY(field-of-view)
Rasterization
Screen Space
- 像素 (x, y) 的中心为 (x + 0.5, y + 0.5)。
- 以左下角为原点，屏幕的像素空间从 (0, 0) 到 (width - 1, height - 1)。
视口变换从 [-1, 1]^2 空间映射到 [0, width]x[0, height]。
Sample
给予屏幕空间任何一点，需要知道是否在三角形内。
for(int x = 0; x < xmax; ++x) |
之前叉积可以判断点是否在三角形内。
Aliasing
采样造成的走样问题本质都是信号变化太快以至于采样速度跟不上产生瑕疵 Artifact。
Antialiased Sampling
频率分析上有可能完全不同的函数采样出完全相同的结果，而我们无法区分，这种现象就叫作走样。
- 增加采样率
- 先做模糊再做采样
MSAA
通过更多的 Supersampling 采样点来进行反走样
Antialiasing Today
Z-Buffering
Painter’s Algorithm
Z-Buffer
Z-buffer Algorithm
for (each triangle T) |
Z-Buffer Complexity